优秀小课题展：一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用研究
作者简介：吕林儒，镇平雪枫中学优秀青年教师，教科研先进工作者，具有敏锐的问题意识，善于抓住教学工作中出现的小问题、小现象进行研究，工作踏实，认真。
执教格言：教人求真，学做真人。
一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用研究
吕林儒
摘要：高中数学知识体系庞大，数学公式众多，数学题目更是种类繁多.一题多解和一题多变的教学方法能够让学生在高中数学中发散数学思维 ，掌握解题规律．从而使学生掌握数学学习中举一反三的方法，提高学习的成效．
关键词 ：一题多解；一题多变；数学教学
一、研究背景及学生现状:
数学是高中学习的重要学科。高中数学学习难度比小学和初中大为提高，所涉及的理论知识和数学定理更为深刻。对于雪枫中学的高中生来说,要学好数学学科,却不是一件容易的事.在生源流失严重的镇平县城里，这所因雪枫将军而命名的公立高中在中招考试中仅仅只能招收到县排名3000之外的学生，这意味着我校招收的新生大多数基础薄弱，学习习惯相对较差，不会自我科学地安排时间，缺乏自学能力。在数学学科上体现的尤为明显，在我所带班级里，大多数学生在面对已讲授过的同类型题目时仍然一筹莫展，在遇到需要计算的题目时，学生的答案更是五花八门。
相对于初中数学来说，高中对数学能力和数学思想的运用要求比较高。高中数学教学中要突出四大能力，即运算能力，空间想象能力，逻辑推理能力和分 析问题解决问题的能力。要渗透四大数学思想方法，即数形结合，函数与方程，等价与变换、划分与讨论。因此，大多数雪枫中学的学生对数学的印象就是枯燥、乏味和困难.但由于高考“指挥棒”的作用,又不得不学。“怎样才能学好数学”成了学生问得最多的问题.而怎样回答这个问题便成了我们急需解决的难题。
从本校数学教学现状来看，“教师教，学生学”仍是主导模式。基术上是“把学习当作消极、被动地接受知识的容器。“题海”战术“淹没”了生动活泼的数学思维过程，这种重复低效的数学课堂教学使数学越来越枯燥,让本来就基础薄弱的雪中学子越来越厌烦,使相当一部分学生“丧失”了数学学习的兴趣。思维变的狭窄，学知识只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。这些促使我们思考：如何提高学生的数学学习兴趣？如何提高数学课堂的有效性？如何提高学生的解题效率？高考数学题“源于书本,又高于书本”,这是历年高考试卷命制的原则,我们需要结合学校乃至班级学生的实际情况从书本基础入手，利用书本上的例题和习题来反复进行的一题多解和一题多变的训练可以帮助学生克服思维狭窄性的有效方法，有助于拓宽解题思路,发展学生的思维能力,提高学生分析问题的能力，提高数学课堂上的解题效率，从而提高学生的应变能力和综合素质。所以在高中数学教学过程中应用“一题多变”法对教学质量的提高具有重要意义 。
二 、一题多解与一题多变在实际教学中的应用
1、何为一题多解与一题多变
随着新课程的改革，考试对学生的要求越来越高。以目前雪枫学生的基础而言，如果按照考纲要求对他们灌输知识的话，可能会出现严重的消化不良。但如果仅仅讲授基础知识的话又远达不到考纲的要求，我们应该如何解决这个困境呢？目前来说，较好的解决办法是尽量多讲授基础知识，并在讲授基础知识的过程中应用“一题多解”与“一题多变”的教学方法。
一题多解就是单个数学题具备多种解题思路和解题方法．一题多变主要是题目多变但其解题的核心是不变的.具体就是在教学过程中对一道数学题进行分析时通过对题目条件进行改变，对题目情境进行改变等方式，促进学生的知识理解能力、知识掌握程度和知识的实际应用能力得到有效提升，进而使学生在分析题目时能够从多角度、多方向、多层次进行思考，提高数学问题的分析、思考和解决能力。
在数学学习中，无论是一题多解还是一题多变，需要学生学会将题目转变为自己能够理解的数学语言，从中找到解题切人点.大多数学生都比较害怕一题多变，题目变化后往往产生迷惑,找不对思路也找不到解题的方法．但一题多变终究是万变不离其宗,只要基础知识牢固，善于思考，熟练各种公式的运用，就能够迅速掌握题目变化的规律，找出解题的方法．
2、一题多解与一题多变在实际教学中的应用举例
（1）数学公式推导中的应用
高中数学无论是知识内容还是方法技巧，其蕴含的知识量都是相当大,所涉及的数学公式定理数量也很多.如果让学生纯粹记公式,而不去理解公式,也不了解公式的来源和推导那么学生很难掌握数学公式 ，更不知如何应用.公式的推导过程就是一种解题的方法,或是一种解题技巧.我们如果在公式的推导过程中运用一题多解的话,就会让学生在学习知识的产生过程中同时掌握解题的规律和方法, 也便于公式的理解记忆.这样的话,学生对这个公式的产生过程印象就更深刻,对公式也就更难忘.另外,在记忆公式的同时,也学到了重要的数学方法和思路,更有助于学生数学思维的发展.
等差数列求和公式为an=a1 (n-1)d ，这一公式如何得来 ，需要学生去探究那就不免要进行推导公式．
（2）一题多解和一题多变在解题中的应用
在教学中，解题讲解包括例题讲解和一般题目的讲解．例题一般都具备典型性和代表性．也就是说,很多数学题都是与例题有一定的相关性.因而在数学题目讲评过程中，如何讲、如何教，让学生熟练掌握例题的解法 ，对学生有较好的启迪．一题多解和一题多变在数学例题的讲解中，如果应用得当，学生在教师引导下发散思维 ，很快就可以掌握解题的基本思路.而且用一题多变的方法教学，让学生从题变中掌握规律，减轻面对题目变化的压力，消除迷惑迅速找到解题思路．
这样一个由特殊性逐步一般化的思维过程,加强了学生思维能力的培养,通过一系列的一题多解和一题多变,培养了学生的综合分析能力,提高了学生数学思维能力,渗透了一些数学方法,体现了一些数学思想,也提供了一个推向一般性的结论.在数学教学中,若将经典例题充分挖掘,注重对例题进行变式教学,不但可以抓好基础知识点,还可以激发学生的探求欲望,提高创新能力;不仅能让教师对例题的研究更加深入,对教学目标和要求的把握更加准确,同时也让学生的数学 思维能力得到进一步提高,并逐渐体会到数学学习的乐趣。
下面举一例对一题多解进行说明：
评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。
评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。
评注：对称换元将减元结果进行简化了，从而更容易求最值。
这三种方法，在本质上都一样，都是通过函数观点来求最值，只是换元方式的不同而已，也就导致了化简运算量大小不同，教师通过引导、启发学生主动思考、运用，提高了学生对数学的认识，也增强了学生思维能力的提高。
评注：运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题，但要注意等号成立的条件是否同时满足。
解法五：（解析几何思想）设d=，则d为动点C（x，y）到原点（0，0）的距离，于是只需求线段上的点到原点的最大和最小距离就可。
当点C与A或B重合时，dmax=1，则（x2 y2）max=1
当OC⊥AB时dmin=2(2 )，则（x2 y2）min=2(1)
评注：用几何的观点研究代数问题，可以加强学生数形结合思想的养成，使学生在数和形的理解把握好一个联系的尺度，能够由数想到形的意义，由形想到数的结构，从而达到快速解决这类问题的目的。事实上，有许多解析几何最值问题和代数中许多最值问题都可以用类似的方法解决，这对学生数学思维能力的培养，有着很积极的作用。
三角函数的图象和性质、三角函数式和恒等变形及最值问题一直是高考考查的重点内容之一，几乎年年都考。而且试题难度系数控制在“易”到中等”程度。在高考中取得此部分的分值，乃是考生“兵家必争之地”。其中用降幂公式、辅助角公式化简为后求最值的问题是考得比较频繁的一类问题。而学生普遍对三角公式的变形和应用缺乏灵活性。在数学学习中利用一题多变来练习变式技巧，巩固基础知识是一个省时省力的好方法。
这几个例题都是由一个简单的例子而来的，通过对这几个例子的解答和探究，可以更好地培养我们的三角函数的知识，同时也能加深我们对三角函数知识的理解和应用．上面几个例子都是由简到难演变的，同时这几个例题都是有解的，使得对这几个例子的探究更有意义．同时在这几个例子的解答过程中也可能进行一题多解，有效地培养我们的数学思维、逻辑思维以及创新思维。
三、班级推广
（1）通过开展课题研究，加强教师的理论学习，转变教学观念，促进数字媒体与数学的教学整合，提高教师的现代化多媒体的教育技能。在实践中探索，在反思中提高。完善教研制度：通过“一周一课一研”的活动使每位教师都能够自觉进行教学研究。通过典型案例研究，获得“一题多解”与“一题多变”的数学教学经验，把一题多解与一题多变作为重要的教育理念始终贯彻于教师的教学行为之中。
（2）“以学生中心，以教例为载体，顺学而导”建构课堂教学中“一题多解”与“一题多变”的教学模式。井千方百计破解“一题多解”与“一题多变”的教学难题。
（3）新课中，实施一题多变，以简单题入手由浅入深，使大部分学生对当堂课内容产生兴趣。在习题课中，把较难题改成多变题目，让学生找到突破口，对难题也产生兴趣。学生自己能够将题目中的问题或某一条件改变，对知识进行重组，自己将题目中的问题或某一条件进行改变，对已学知识进行重组，探索出新知识，解决新问题。不就题论题,能多思多变。
在日常教学活动中，让学生学会“一题多解”与“一题多变”的解题方法。培养学生会变题学习的良好习惯，从面达到提高学生的数学应变能力。
四、一题多解与一题多变在高中数学中的应用和创新之处
在数学教学中,很多老师在课后给学生布置除书上练习题和习题以外的大量习题.使得本就基础薄弱的雪中学生感到负担很重.很多学生根本无法完成,便出现了抄作业的现象.对数学的厌恶感便油然而生。在高中数学教学过程中，选择教材中的典型题目应用 一题多解“与一题多变”法实施课堂教学，可为学生创造出轻松、愉悦的学习环境，使学生在愉悦的氛围中进行问题的分析和知识的探索，对于从未见过的新题也会迎刃而解.另外,我们在把变式题布置给学生的同时,便可要求学生运用一题多解,甚至可以要求学生自己对题型进行变式.这样的作业方式不只可以达到复习巩固的目的,还可以提高学生的探究能力及学习数学的兴趣.让学生在解题过程中体会到数学知识的魅力，促进学生学习兴趣得到有效提高，从而提高了学生的数学成绩。
在高中数学学习中运用“一题多解”与“一题多变”的解题方法，可以有效解决学生在解题中遇到的诸多困难，大大提高学生的学习效率，帮助学生深入掌握基本知识。使学生的发散思维能力和逻辑思维能力进一步得到培养。
创新之处：“一题多解”与“一题多变”教学将充分利用多媒体课件将例题的特殊问题通过一题多变推广到普遍性的问题，让学生在一题多变的训练中悟出解答数学问题的方法和规律，又能发展学生的思维能力，更让学生对数学学习产生积极的良好情感，从而实现数学的育人目标。
五、“一题多解、一题多变”的教学反思与不足之处
长期以来，研究者对一题多变的教学进行了许多有益的探索，积累了非富的经验，但我认为研究还存在以下一些不足之处：①理论探讨多，实践探讨少：②研究脱离了学生，缺少师生间的互动。针对这些情况，我们将进行深入的分析，结合现在理论界有关一题多变策略的成果，结合课堂实践和学生实际情况制定针对性较强的切实可行的学案。
